lunes, 7 de abril de 2014

¿Qué es la matemática?

A la señora que le hice la pregunta respondió lo siguiente: “Para mí la matemática es superación de las personas, y así todo se les facilite a las mismas, sin ella no podríamos manejar las cuentas y no se pudiera tomar medidas”.
En mí caso la matemática es: “parte de nuestro diario vivir ya que está presente en cada cosa que encontramos, además fortalece nuestro aprendizaje ya que con ella se nos abren nuevos horizontes. Por otra parte es una herramienta de conocimientos que adquirimos a través de la experiencia que obtenemos día con día.
El estudiar esta carrera me ha brindado la oportunidad de visualizarla de otra forma; porque nosotros como seres humanos a veces pensamos que la matemática es solo resolver ejercicios de forma mecánica y no pensamos en los grandes aportes que esta área ha tenido alrededor del mundo”.

Ruiz, (2003) menciona que
El estudio de las matemáticas debe contextualizarse socialmente y, entonces, abrir curso a la investigación de las diferentes dimensiones y factores que afectan este devenir: el carácter de las comunidades matemáticas, la institucionalización de la practica matemática, la influencia de la economía, la ideología y la política, la enseñanza y demás factores deben tomarse en cuenta (p. 591).
Considero que el curso de Historia de la matemática nos ha permitido comprender la evolución que ha sufrido esta área con el paso de los años. La cual es una herramienta en el mundo actual, porque es esencial en muchos campos (ciencias naturales, ingenierías, medicina, ciencias sociales, entre otros).
Por lo tanto, es importante fomentar en la población un cambio de mentalidad donde se dejen de lado aquellas ideas erróneas que se tienen de la matemática, comprendiendo que el verdadero aprendizaje se logra al hacerlo activamente y no mecánicamente. Es necesario que le encontremos la utilidad en cada uno de los campos que tiene aplicaciones, porque esto nos permitirá entenderlas y estimular su desarrollo.   

Bibliografía  

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las matemáticas. San José, Costa Rica: EUNED.

martes, 25 de marzo de 2014

Origen de las geometrías no euclídeas


Durante el siglo XIX, entre de los años 1825 y 1826, los matemáticos János Bolyai y Nikolai Lobachevski dan a conocer los primeros descubrimientos de la primera geometría no euclídea. Ambos publican independientemente, Lobachevski en 1829 y Bolyai en 1832, que hacen patente que cada uno ha descubierto la misma primera geometría no euclídea.
Corresponde a una época revolucionaria en la historia de la Matemática, no solamente porque estas  geometrías se desarrollaron prácticamente en el aire, sin un apoyo en la "realidad" de  ese momento, sino porque, también, su aparición cuestiona lo que es un sistema  axiomático, lo que es un axioma independiente y lo que significa la consistencia de una teoría matemática.
Geometría analítica:
Desde la antigüedad esta vinculación se trató de plantear; Menecno discípulo de Eudoxo conocía algo de geometría analítica, aunque con las limitaciones impuestas en el álgebra por los griegos es difícil que haya sido muy desarrollado. Fue Descartes quien buscó liberar a la geometría del exceso de figuras pero también buscaba darle sentido al álgebra por medio de la geometría. Esta área conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa. 
Geometría descriptiva:
Para las culturas antiguas esta geometría tenía cierta magia y misterio, incluso pensaron que había sido un regalo de los dioses. A través de la historia el hombre ha desarrollado diferentes métodos que le han servido para explicar las diferentes necesidades de medición y construcción. Por eso esta área busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. 
Geometría proyectiva:
Puede encontrarse trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la obra desarrollada por Gaspar Monge, quien se caracterizaba como el primer especialista moderno de la geometría. Esta rama es de suma importancia porque estudia las propiedades proyectivas de las figuras. 
Geometría esférica:  
Es el estudio de las propiedades de rectas, puntos, segmentos y todas las figuras geométricas puestas en la superficie de una esfera. Es una geometría diferente a la clásica pero que tiene perfecta validez. Los puntos son iguales que en la euclidiana pero las rectas son los círculos grandes, aquellos que pasan por dos puntos opuestos (también llamados geodésicas).  
Geometría diferencial:
Riemann hizo más que crear una nueva geometría, colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Gauss había realizado mucho trabajo en la construcción de mapas y la llamada geodesia. Y de aquí se engendraría en nuevo enfoque sobre el sentido del espacio. Se podría definir como el estudio de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro. Cuando se da este tipo de variación se utilizan las técnicas del cálculo. 

Bibliografía
Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. San José, Costa Rica: Editorial de la Universidad de Costa Rica, primera edición
Díaz, J. (2012). Geometría Descriptiva I. Recuperado de http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/disenio_y_edicion_digital/Geometria_descriptiva_I/Geometria_descriptiva_I-Parte1.pdf
Dou, A. (s. f.). Orígenes de la geometría no euclidiana: Saccheri, Lambert y Taurinus. Recuperado de http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_02.pdf
Tejeda, D. (s. f.). Geometrías no euclidianas. Recuperado de http://www.bdigital.unal.edu.co/7932/1/32504397._2003.pdf




martes, 18 de marzo de 2014

Álgebra y sus distintas ramas

Actualmente el álgebra se divide en las siguientes ramas:
  • Lineal: para el año 1843, William Rowan Hamilton realizó su descubrimiento sobre los cuaterniones, y es de aquí donde proviene el uso del término vector. Esta rama estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, la parte formal de espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Tiene aplicaciones en áreas como: industria espacial, circuitos eléctricos, redes de comunicación, arqueología, predicción del tiempo, movimientos de población, relatividad, análisis del tráfico y rutas mercantiles. 
  • Abstracta: Abel y Galois promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los que surge el concepto de grupo, es aquí donde el Álgebra Moderna. Luego Galois y Ruffini trabajaron en forma independiente el concepto de grupo, formándose la teoría de grupos finitos. Para las primeras décadas del siglo XX, Emmy Noether realizó sus investigaciones sobre invariantes algebraicas, axiomatización y el desarrollo de la teoría algebraica de anillos, módulos, ideales, grupos con operadores. El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas como: anillo, grupo, cuerpo o espacio vectorial, entre otros. Algunas de sus aplicaciones son: topología algebraica, física, en la teoría del calibrador, biología, química y economía.
  • Vectorial: un nuevo método y un nuevo punto de vista, el cual contribuyó a la compresión del álgebra como de la física y debido al esfuerzo realizado por J.W Gibbs y O. Heaviside, quien unieron el análisis de los cuaterniones y la geometría cartesiana dieron lugar a la llamada álgebra vectorial. Esta rama está relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación. 
  • Tensorial: es una extensión natural del álgebra lineal, además es una generalización del cálculo tensorial. Es utilizada para los tensores construidos con los vectores de un campo euclideano n-dimensional.
  • Multilineal: es aquella herramienta teórica y práctica para el físico, porque proporciona el sustrato algebraico para estudiar los diferentes espacios y geometrías utilizadas  en esta disciplina. Dos temas importantes son: los tensores y los espacios métricos, ya que son necesarios para abordar el estudio de la teoría de la relatividad, cuántica, campos y partículas, las teorías de Gauge, cosmología y otros dominios de la física.
  • Homológica: es una de las principales ramas de la matemática del presente siglo, esta estudia la homología en un marco algebraico general. Puede remontarse a investigaciones en topología combinatoria y en álgebra abstracta.
  • Conmutativa: ha surgido de la geometría algebraica, esta es el estudio de los anillos conmutativos y se unifica de la Aritmética y la Geometría Afín.  
  • Diferencial: esta rama es una de las más hermosas en la matemática, porque convive en perfecta armonía el Álgebra, Análisis, Geometría Diferencial y Física.  
  • Booleana: es una estructura con dos operaciones binarias y una unitaria que tiene características similares al álgebra de números reales, pero difiere en otros aspectos. Es un sistema deductivo centrado en los valores cero y uno.
  • Elemental: proporciona operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Esta rama estudia las estructuras, relaciones y cantidades; junto a la geometría, análisis matemático, combinatoria y teoría de números. Es una de las principales ramas de esta área.   

Bibliografía
Álgebra vectorial. (s, f). Recuperado de http://estudiofacultad.hostoi.com/calculus/calculus1/cap12.pdf
Cruz, M. (2008). Álgebra booleana. Recuperado de http://www.slideshare.net/DriverNet/algebra-booleana-23985403
Dávila, G. (2002). El desarrollo del álgebra moderna. Recuperado de http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-1-algebra.pdf
EcuRed. (2014). Algebra Elemental. Recuperado de http://www.ecured.cu/index.php/%C3%81lgebra_elemental
EcuRed. (2014). Algebra Lineal. Recuperado de http://www.ecured.cu/index.php/%C3%81lgebra_lineal
Jiménez, N. (s, f). La madre del Álgebra Moderna: Emmy Noether. Recuperado de http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Emmy%20Noether.pdf
Lluis-Puebla, e. (2005). Algebra homológica, cohomología de grupos y K-teoría algebraica clásica. Recuperado de http://sociedadmatematicamexicana.org.mx/SEPA/ECMS/resumen/P1TE12_1.pdf
Piero, G. (2005). Álgebra tensorial y diferencial. Recuperado de http://matematicas.unex.es/~sancho/Notillas/AlgTensDi.pdf

Sánchez, j. (2011). Historias de matemáticas hamilton y el descubrimiento de los cuaterniones. Recuperado de http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/hamilton_y_el_descubrimiento_de_los_cuaterniones.pdf

lunes, 3 de marzo de 2014

Sección áurea


Este blog es una herramienta para trabajar en nuestras aulas con nuestros estudiantes, a través de esta se pretende que los mismos conozcan sobre dos temas que han generado gran polémica a través de la historia de la matemática. Por ello, quiero brindarles un punto de vista de ambos.    
El origen del término sección áurea es algo incierto. Generalmente se sitúa en Alemania en la primera mitad del siglo XIX. Aunque se hablaba de este desde la antigüedad, por ejemplo los egipcios lo descubrieron buscando medidas que les permitiera dividir de forma exacta la tierra. Después pasó a Grecia y de allí a Roma; en la Escuela Pitagórica se escogió como símbolo la estrella pentagonal, en esta se muestra sus relaciones con la sección áurea y se cree que de esta figura se llega a la noción de inconmensurabilidad.
Euclides en su obra, nos revela la primera fuente documental sobre la sección, su cálculo y trazado geométrico.
Algunos de los nombres que ha recibido son: sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro.
Es por ello, que esta proporción ha desempeñado un  papel importante al intentar encontrar una explicación matemática a la belleza.   
Este número posee muchas propiedades interesantes, fue descubierto no como unidad sino como relación o proporción. La misma se encuentra en algunas figuras geométricas, en partes del cuerpo humano, en la naturaleza (caracoles, nervaduras de las hojas, el grosor de las ramas, entre otros).







Los 3 problemas clásicos de la antigüedad
En la antigüedad los matemáticos se dedicaron a la búsqueda de nuevas propiedades de las figuras; de carácter general: teoremas y de carácter particular: construcciones.
Las primeras figuras con las que trabajaron fueron la recta y la circunferencia. Todas las proposiciones, teoremas y construcciones se basaron en estas dos figuras.
Otras propiedades fueron logradas mediante la búsqueda y la persecución de algunos problemas particulares, los cuales atrajeron la atención de los matemáticos. Pero estos dieron origen a los llamados problemas clásicos de la antigüedad; estos fueron tres:
1.      La trisección del ángulo

2.      La duplicación del cubo

3.      La cuadratura del círculo

La trisección del ángulo: es problema es dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, este conflicto surgió por la sencillez de los términos y la imposibilidad de resolverlo con los medios elementales de la geometría.  
La duplicación del cubo: el origen de este cuestionamiento de los habitantes de Delos que recurrieron al oráculo de Delfos, para saber cómo contener la plaga que invadió su cuidad. Para ello, debían doblar el volumen del altar de Apolo, el cual era un cubo y el problema era su duplicación. Hipócrates fue el primero que pensó en la solución, encontró que si dos rectas una doble de la otra se insertan dos medias proporcionales se duplicará el cubo, con lo que se convirtió una dificultad en otra no menor.
La cuadratura del círculo: los primeros intentos fueron empíricos, pero los griegos no se contentaron con estos resultados. El escriba Ahmes construyó un cuadrado de área igual a la de un círculo; da una regla para construirlo cortando un noveno del diámetro del círculo y así construir el cuadrado con lo restante. Esto dio una aproximación del número π.



Bibliografía
Morales, E. (2002). La cuadratura. Recuperado de http://www.ejournal.unam.mx/cns/no65/CNS06509.pdf
Regueiro, M. (2008). Sección áurea. Recuperado de http://www.slideshare.net/maroregueiro/seccion-aurea-presentation
Toledo, Y. (s,f). Seccción aúrea en arte, arquitectura y música. Recuperado de http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/240/La_seccion_aurea_en%20arte.pdf