Origen de las geometrías no euclídeas

Durante el siglo XIX, entre de los años 1825 y 1826, los matemáticos János Bolyai y Nikolai Lobachevski dan a conocer los primeros descubrimientos de la primera geometría no euclídea. Ambos publican independientemente, Lobachevski en 1829 y Bolyai en 1832, que hacen patente que cada uno ha descubierto la misma primera geometría no euclídea.

Corresponde a una época revolucionaria en la historia de la Matemática, no solamente porque estas  geometrías se desarrollaron prácticamente en el aire, sin un apoyo en la "realidad" de  ese momento, sino porque, también, su aparición cuestiona lo que es un sistema  axiomático, lo que es un axioma independiente y lo que significa la consistencia de una teoría matemática.

Geometría analítica:

Desde la antigüedad esta vinculación se trató de plantear; Menecno discípulo de Eudoxo conocía algo de geometría analítica, aunque con las limitaciones impuestas en el álgebra por los griegos es difícil que haya sido muy desarrollado. Fue Descartes quien buscó liberar a la geometría del exceso de figuras pero también buscaba darle sentido al álgebra por medio de la geometría. Esta área conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa. 

Geometría descriptiva:

Para las culturas antiguas esta geometría tenía cierta magia y misterio, incluso pensaron que había sido un regalo de los dioses. A través de la historia el hombre ha desarrollado diferentes métodos que le han servido para explicar las diferentes necesidades de medición y construcción. Por eso esta área busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. 

Geometría proyectiva:

Puede encontrarse trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la obra desarrollada por Gaspar Monge, quien se caracterizaba como el primer especialista moderno de la geometría. Esta rama es de suma importancia porque estudia las propiedades proyectivas de las figuras. 

Geometría esférica:  

Es el estudio de las propiedades de rectas, puntos, segmentos y todas las figuras geométricas puestas en la superficie de una esfera. Es una geometría diferente a la clásica pero que tiene perfecta validez. Los puntos son iguales que en la euclidiana pero las rectas son los círculos grandes, aquellos que pasan por dos puntos opuestos (también llamados geodésicas).  

Geometría diferencial:

Riemann hizo más que crear una nueva geometría, colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Gauss había realizado mucho trabajo en la construcción de mapas y la llamada geodesia. Y de aquí se engendraría en nuevo enfoque sobre el sentido del espacio. Se podría definir como el estudio de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro. Cuando se da este tipo de variación se utilizan las técnicas del cálculo. 

Bibliografía

Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. San José, Costa Rica: Editorial de la Universidad de Costa Rica, primera edición

Díaz, J. (2012). Geometría Descriptiva I. Recuperado de http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/disenio_y_edicion_digital/Geometria_descriptiva_I/Geometria_descriptiva_I-Parte1.pdf

Dou, A. (s. f.). Orígenes de la geometría no euclidiana: Saccheri, Lambert y Taurinus. Recuperado de http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_02.pdf

Tejeda, D. (s. f.). Geometrías no euclidianas. Recuperado de http://www.bdigital.unal.edu.co/7932/1/32504397._2003.pdf